Помогите решить геометрическую задачу?

Жалоба
Вопрос

В конус вписана пирамида.основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,катет которого равен 2а,а прилежащий угол равен 30 градусов.Боковая грань пирамиды,проходящая через данный катет,составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов.найдите объем конуса.

В процессе 1
математика 3 года назад 1 Ответов 528 Просмотров 0

Ответов ( 1 )

    0
    4 года назад
    Ответить

    По условию задачи конус прямой?

    Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, проходит через центр этой окружности (пусть центр окружности - точка О).
    Следовательно, длина гипотенузы равна двум радиусам этой окружности: 2R.
    В то же время имеем, что гипотенуза равна 2a/(cos30) = 2a(2/sqrt3) = 4a/sqrt3.
    Значит, R = 2a/sqrt3.

    Из центра окружности проведем перпендикуляр к катету, длина которого равна 2a.
    Построенный перпендикуляр делит этот катет пополам. Пусть точка пересечения - точка Z.
    Тогда длина отрезка OZ равна a/sqrt3.

    Пусть точка А - вершина конуса.
    Если конус прямоугольный, то высотой грани, проходящей через катет (длина которого 2a), является отрезок AZ.
    Отрезок AO, в свою очередь, является высотой конуса и пирамиды.

    Рассмотрим треугольник AZO.Это прямоугольный треугольник с острыми углами, равными 45 градусов.
    Следовательно, его катеты тоже равны: IAOI = IOZI = a/sqrt3.

    Площадь основания пирамиды равна (1/2)2a2atg30 = (2a^2)/sqrt3.
    Отсюда объем пирамиды равен (1/3)((2a^2)/sqrt3)a/sqrt3 = (2a^3)/9.

    Ответ: (2a^3)/9

Ваш ответ